Come in tutti i circuiti che attuano il campionamento o la commutazione periodica di un segnale le reti SR ed SC obbediscono a delle leggi che ne determinano il comportamento in relazione al rapporto tra Fck, che stabilisce l'unità temporale di riferimento, e la frequenza del segnale applicato che viene campionato o commutato. In precedenza affinchè le relazioni riportate in questo tutorial trovino validità (per Req ad esempio) si è assunto di potere eseguire la media del segnale da trattare come minimo per il periodo di un ciclo di clock (T). Questo presupposto, non rigoroso sotto l'aspetto matematico e degli impliciti contenuti concettuali, può essere meglio espresso in altra forma.

Garantendo cioà che l'informazione in frequenza che caratterizza il segnale non venga alterata dai circuiti di commutazione, per fare si che questa condizione sia soddisfatta Fck deve essere come minimo il doppio di Fin, termine quest'ultimo con il quale viene indicata la massima componente in frequenza del segnale in ingresso da filtrare o in generale da elaborare. Per quanto affermato vale quindi la relazione:

Dove Fin è la frequenza del segnale mentre Fck è la frequenza del ciclo di clock (entrambe in Hz).

E' questo un primo vincolo all'impiego delle reti SC in quanto Fck determina, invariabilmente, la massima frequenza di Fin. Naturalmente questa sola enunciazione non è sufficiente per descrivere cosa accade nelle diverse condizioni. Poniamo attenzione alla seguente figura:

Spettro di un segnale campionato

Viene mostrato lo spettro del segnale all'uscita di un filtro o di un generico circuito che operi commutazioni o campionamenti sul segnale. Si nota che la banda di frequenze in ingresso (area gialla) appare in uscita per fenomeni di mixing anche come bande laterali simmetriche ai lati di Fck e dei suoi multipli (aree grigie). Analogamente se elementi del segnale in ingresso non obbediscono al vincolo poc'anzi formulato perchè con frequenza maggiore si assisterà alla creazione di nuovi segnali spurii con spettro:

Dove Fn è la frequenza in uscita, Fs è la frequenza del segnale in ingresso oltre 0.5 Fck, Fck è la frequenza del ciclo di clock (tutte espresse in Hz). N è il numero intero che rappresenta Fck ed i suoi multipli.

Almeno una di queste nuove componenti spettrali cadrà nella parte utile del campo di frequenze ammesso in ingresso con la conseguente apparizione di quello che a tutti gli effetti è un artefatto creato dal circuito, ovvero una distorsione che altera i contenuti del segnale originario. La figura evidenzia quanto descritto:

Ripiegamento dello spettro per aliasing

Questo fenomeno, indesiderato, viene definito con il termine di "aliasing". Per porre rimedio a questa distorsione è opportuno fare in modo che all'ingresso del filtro non giungano segnali con frequenza superiore a 0.5 Fck, viene aggiunto allo scopo uno stadio di pre-filtro del tipo passa-basso realizzato con struttura convenzionale (non SC) avente il compito di attenuare oltre il livello di dinamica del circuito i soli segnali superiori a 0.5 Fck.

Ci si può chiedere dopo questo punto dove risiede il vantaggio di utilizzare un filtro SC nel caso si sia obbligati, di fatto, ad anteporvi un altro filtro perchè vengano garantite le idonee condizioni operative. La risposta, ed insieme la soluzione, consiste nell'incrementare il rapporto esistente tra Fck e la frequenza di taglio o di risonanza del circuito, nei dispositivi presenti sul mercato questo parametro che ora appare nella sua importanza assume valori tipici di 50 oppure 100 anche se in alcuni casi dei componenti presentano un valore ancora maggiore.

In maniera speculare, al pari dell'ingresso, all'uscita di un circuito SC si applica un semplice post-filtro del tipo passa-basso realizzato con struttura convenzionale (non SC) avente il compito di attenuare oltre il livello di dinamica del circuito i soli segnali superiori a 0.5 Fck. Si è in questo caso usato il termine "semplice post-filtro" in quanto nella pratica è richiesta una bassa pendenza di attenuazione ottenibile a volte anche con una semplice rete passiva resistenza-capacità. Vi è una eccezione, l'azione e quindi la complessità di questo post-filtro, diviene importante quando si collegano in serie più stadi SC in quanto le spurie prodotte dal primo verrebbero moltiplicate dal secondo e così via. In altre parole nei circuiti che collegano in serie più stadi SC è necessario creare un reciproco isolamento tra le diverse sezioni con un adeguato filtro passa-basso puramente analogico.

Esempi di progetto :

Si vuole realizzare un filtro SC passa-basso con frequenza di taglio di 5 KHz, si utilizza allo scopo un dispositivo avente rapporto Fck / F0 pari a 100. Come si deve procedere?

Scelta la frequenza di taglio a 5 KHz abbiamo automaticamente determinato la frequenza di clock che quindi, per questo dispositivo, vale 5 x 100 = 500 KHz. Vediamo ora che si potrebbero creare dei fenomeni di aliasing se il segnale all'ingresso ha componenti superiori a 0.5 Fck ovvero 250 KHz. Affinchè non si verifichi questa eventualità dobbiamo realizzare un pre-filtro che non alteri la risposta nel campo di frequenze utili, da 0 a 5 KHz quindi, e che arrivi ad attenuare a 250 KHz ed oltre almeno in misura equivalente al campo dinamico del circuito nel suo insieme, diciamo 50 dB. Per prima cosa scegliamo la frequenza di taglio del pre-filtro, poniamola a 7.8 KHz e quindi abbastanza distante dai 5 KHz massimi che caratterizzano il nostro segnale utile. Da 7.8 KHz per arrivare a 250 KHz vi sono poco più di 5 ottave, un filtro con pendenza di 12 db/ottava è in grado di soddisfare le nostre esigenze in quanto 12 x 5 = 60 dB di attenuazione. La pendenza richiesta si ottiene con un filtro di 2° ordine molto semplice, lo si può realizzare con una singola cella composta da una induttanza ed una capacità, oppure con un filtro costruito attorno un singolo amplificatore operazionale. Le condizioni operative che abbiamo delineato sono evidenziate in figura:

Attenuazione del filtro antialiasing

Si vuole realizzare un filtro SC passa-alto con frequenza di taglio di 300 Hz, si utilizza allo scopo un dispositivo avente rapporto Fck / F0 pari a 100. Queste informazioni sono sufficienti per progettare il circuito?

No, sebbene sia possibile determinare i diversi parametri ed anche stimare il campo dinamico per l'applicazione che ci interessa manca un punto fondamentale. Dato che si è obbligati a rispettare il limite imposto per evitare l'aliasing, in questo caso 0.5 x 300 x 100 = 15 KHz, un filtro passa-alto ideale non è realizzabile dovendo accettare il compromesso che oltre questa frequenza il filtro non opera correttamente. Si deve pertanto specificare non solo la frequenza di taglio ma anche il limite superiore che si desidera raggiungere. Se ad esempio l'applicazione riguarda i segnali audio e si desidera trattare l'intero spettro tra 300 Hz e 20 KHz (limite di udibilità umana) ecco che si superano i vincoli di progetto. Si potrebbe usare quindi un dispositivo con rapporto Fck / F0 superiore a 100 od altrimenti fare a meno della tecnologia SC optando per un filtro analogico con amplificatori operazionali. Se invece ci interessa solo lo spettro 300-1000 Hz il filtro è fisicamente realizzabile. Scegliamo la frequenza di taglio del pre-filtro, poniamola a 2 KHz e quindi distante dal 1 KHz massimo che caratterizza il nostro segnale utile, e definiamo la dinamica che sarà pari all'attenuazione da raggiungere a 15 KHz. Se poniamo questo valore a 80 dB abbiamo la necessità di un pre-filtro con pendenza di circa 28 dB/ottava. Se adottiamo una risposta di tipo Butterworth è necessario realizzare una rete di 5° ordine per la quale sono richiesti dunque tre amplificatori operazionali.

Si vuole realizzare un filtro SC passa-banda con frequenza di taglio variabile tra 500 Hz e 900 Hz, si utilizza allo scopo un dispositivo avente rapporto Fck / F0 pari a 100. Come si deve progettare il post-filtro in uscita?

Scelta la frequenza di taglio minima a 500 Hz (è questa che ci interessa) abbiamo automaticamente determinato la frequenza di clock minima che quindi, per questo dispositivo, viene sintonizzata a 500 x 100 = 50 KHz. Vediamo che in uscita vi sono dei segnali di aliasing con frequenze superiori a 0.5 Fck ovvero 25 KHz. Ora tutto dipende dall'uso che verrà fatto del segnale filtrato: Se questo è destinato ad essere amplificato per pilotare un altoparlante in linea di principio un post-filtro è superfluo in quanto non vi sono componenti spurie udibili. Una semplice rete resistenza capacità pur con la modesta pendenza che la caratterizza è comunque consigliata per fare in modo che l'amplificatore non riceva forti segnali possibile causa di saturazioni e quindi distorsione. Se invece il segnale andrà applicato ad un altro circuito, sensibile alle componenti oltre 25 KHz, queste andranno attenuate in misura adeguata a quest'ultimo.

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