Nel descrivere i principi su cui operano i filtri SC prendiamo quale riferimento un circuito integratore che fa uso di un amplificatore operazionale, di un condensatore ed una resistenza. Questo blocco funzionale, assai semplice, è alla base dell'implementazione dei filtri nelle diverse tipologie di risposta in frequenza. Riportiamo in figura il circuito:

Circuito integratore con operazionale

Questo circuito opera una integrazione del segnale applicato all'ingresso, l'uscita cioè rappresenta l'area sottesa dalla curva che descrive il segnale nel tempo. La tensione in uscita dal circuito viene data dalla seguente relazione:

Dove Vout è la tensione in uscita (in Volt), Vin è la tensione in ingresso (V), R1 la resistenza nel circuito (ohm) e C2 il condensatore nel circuito (F).

Non è rilevante in questa trattazione presentare ulteriori dettagli sulla funzione primitiva degli integratori, importante è invece fare rilevare che il comportamento in termini di Vout dipende dal valore dei due componenti passivi che compongono la rete di retroazione dell'amplificatore operazionale. La resistenza R1 presente all'ingresso dell'integratore può essere sostituita da una rete elettrica formata da un condensatore e due deviatori mantenendo, entro un determinato intervallo di frequenze, inalterato il funzionamento. I due circuiti sono quindi equivalenti quando operano entro determinati limiti di frequenza.

Circuito integratore con capacità commutate

Nella figura l'integratore così modificato, si osservi che i due deviatori vengono identificati dalle sigle SP ed SD in quanto hanno diverso comportamento. Più precisamente i deviatori sono in posizione chiusa per una diversa semionda del segnale di clock e pertanto quando SP è aperto SD è obbligatoriamente chiuso e viceversa, non vi sono istanti in cui entrambi sono contemporaneamente chiusi. Si tratta in altre parole di una operazione su due fasi di uguale durata dato che il duty-cycle del segnale di clock è fissato sempre a 0.5, a tempi alterni pertanto il condensatore C1 viene connesso verso l'ingresso del circuito e verso il terminale (-) dell'amplificatore operazionale. L'animazione che segue rende visivo il concetto:

Dinamica del circuito integratore con capacità commutate

Nella prima posizione quando C1 è connesso all'ingresso del circuito il condensatore si carica di una quantità di cariche elettriche che è in diretta proporzione a tre parametri: la tensione applicata V1, il valore capacitivo di C1, il tempo in cui viene mantenuta la posizione pari a T/2 ovvero metà del ciclo di clock. Nella seconda posizione quando C1 è connesso al terminale (-) dell'amplificatore operazionale il condensatore si porta alla tensione ivi presente V2 generando una corrente che vale:

Dove I è la corrente (in Ampere), V1 è la tensione in ingresso (V), V2 è la tensione al terminale (-) dell'amplificatore operazionale (V), C1 è il condensatore (Farad), T infine è il periodo del ciclo di clock (in secondi).

Trovandoci praticamente di fronte ad una differenza di potenziale, il termine V1-V2, ed a una corrente a questa linearmente proporzionale si può affermare per equivalenza che tra i punti dove sono presenti queste due tensioni è connessa una resistenza di valore:

Dove Req è la resistenza equivalente (in ohm), I è la corrente (A), V1 è la tensione in ingresso (V), V2 è la tensione al terminale (-) dell'amplificatore operazionale (V).

Si è indicato "0.5 x I" in quanto tale corrente scorre in un senso solo per metà del periodo del ciclo di clock, sostituendo inoltre a T il suo reciproco ovvero Fck ricaviamo una relazione che ci mostra il valore della resistenza equivalente con maggiore immediatezza:

Dove Req è la resistenza equivalente (ohm), C1 è il condensatore (F), Fck infine è la frequenza del ciclo di clock (Hz).

Con diversi passaggi siamo giunti ad una formulazione che dimostra come modificando il valore di Fck è possibile, in un circuito composto da soli deviatori ed un condensatore, simulare una resistenza variabile. Ritornando allo schema dell'integratore, di seguito riproposto per comodità, il parametro che più di altri lo caratterizza concerne la relativa costante di tempo che vale:

Dove t è la costante di tempo (in secondi), R1 la resistenza (ohm) e C2 il condensatore (F).

Inoltre in relazione a questa costante la frequenza alla quale la funzione di trasferimento del circuito assume valore unitario, il rapporto tra tensione di uscita ed ingresso cioè, vale:

Dove F1 è la frequenza a guadagno unitario (Hz), R1 la resistenza (ohm) e C2 il condensatore (F).

Sostituiamo ora ad R1 il valore della resistenza equivalente Req ottenendo:

Dove F1 è la frequenza a guadagno unitario (Hz), Fck è la frequenza del ciclo di clock (Hz), C1 e C2 i condensatori nel circuito (F).

Finalmente appare evidenziata la diretta relazione di proporzionalità che lega Fck alla frequenza di taglio a guadagno unitario dell'integratore, si noti un particolare: il rapporto tra queste grandezze è determinato esclusivamente dal rapporto tra il valore dei due condensatori impiegati nel circuito a capacità commutata (SC). La notevole precisione con cui è possibile realizzare nei circuiti integrati condensatori di piccolo e medio valore si ripercuote direttamente nella precisione del rapporto che lega la frequenza di clock alla frequenza caratteristica dell'integratore, fattore questo importante per ottimizzare le prestazioni di filtri complessi che richiedono diversi stadi interconnessi.

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